Քանի որ OM-ը կիսորդ է, ապա MH=MK` կիսորդի յուրաքանչյուր կետ հավասարահեռ է:
ÐHBK=ÐOBK=60:2=30°, հետևաբար KH=KB/2=10:2=5սմ
KD=KH=5սմ Պատ՝ 5սմ, 5սմ
FK=FH, AF-ը կիսորդ է, ÐBAC=37+37=74°
Ðc=180-(45+90)=45°
DC=AD
DABD (ÐD=90°)
AB>AD, AB>DC
Պատ՝ AB>DC
ÐA=17*2=34
ÐB=28*2=56, քանի որ P-ն գտնվում է կիսորդի վրա
ÐC=180- (34+56)=90°
Եռանկյան անկյունների գումարը
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 325; 327; 329; 331; 333
Քանի որ եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է 180°, ապա
180-(90+21)=69°
Պատ՝ 69°
2x+7x+90=180
9x=90
X=10
2x=20
7x=70
Պատ՝ 20°, 70°
AC էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին, քանի որ ուղղանկյան եռանկյան 30° սուր անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին: Նաև դեպի ներքնաձիգը տարված միջնագիծը հավասար է ներքնաձիգի կեսին, այսինքն AH=BC/2
AC=BC/2=6 սմ
Պատ՝ 6 սմ
BC էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին, քանի որ ուղղանկյան եռանկյան 30° սուր անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին: Ուրեմն, BC=AB/2=17:2=8,5 սմ
Պատ՝ 8,5 սմ
ÐB =30°, քանի որ եթե ուղղանկյուն եռանկյան մեջ սուր անկյան դիմացի էջը հավասար է ներքնաձիգի կեսին (AC=AB/2), ապա այդ սուր անկյունը հավասար է 30°:
Պատ՝ ÐB =30°
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 294;296;298;300;305
OA=OA’, OB=OB’
ÐAOB=ÐA’O’B’
DAOB=DA’OB ըստ եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշի
ÐBB’A=ÐABB’, ուրեմն AB½½A’B’
DABC=DADC ըստ եռանկյունների հավասարության երրորդ հայտանիշի, քանի որ AB=AD, BC, =DC, AC- ընդհանուր կողմ, ուրեմն ÐBAC=ÐCAD
ABIIED, ÐBAD=ÐEDA, որպես հակադիր անկյուններ
DAED, AE=ED, ÐEDA=ÐADE
Հետևաբար ÐEAD=ÐBAD այսինքն AD-ն կիսորդ է, CAB-ն հավասարասրուն եռանկյուն է, իսկ հավասարասրուն եռանկյունների մեջ կիսորդը նաև բարձրություն է, ուրեմն AD^BC
DԱՕԲ
DAOB=DCOD ըստ առաջին հայտանիշի
ÐB=ÐDCO
ABIICD, ÐACD=180°-116=64°
05.03.2024թ.-Զուգահեռ ուղիղներ
Տեսանյութ՝
Դասարանական առաջադրանքներ՝ 251;253;255;257
Այո, BE||DF, քանի որ ըստ թեորեմի, եթե երկու ուղիղներին հատող ուղիղը ուղղահայաց է նրանց, ապա այդ ուղիղները կամ հատվածները զուգահեռ են:
Ա. Խաչադիր անկյուններ՝ ÐAKP, ÐDPK; ÐBKP, ÐKPC
Բ. Համադիր անկյուններ՝ ÐCPK, ÐAKM; ÐBKM, ÐDPK;
Դ. Միակողմանի անկյուններ՝ ÐAKP, ÐCPK, ÐBKP, ÐDPK
Խաչադիր՝ÐBGE, ÐFEG , միակողմանի` ÐDGE, ÐFEG, համադիր`ÐOEB, ÐBGA
a II b, քանի որ ըստ թեորեմի եթե կան երկու ուղիղներ և նրանց հատող ուղիղ և խաչադիր
անկյունները հավասար էն, ապա այդ ուղիղները զուգահեռ են:
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 252;254;256;258
BE II OF, քանի որ BE^AD, OF^AD, քանի որ ըստ թեորեմի եթե երկու ուղիղներ հատվում են իրենց հատողի հետ ուղիղ անկյան տակ, այսինքն ուղղահայաց էն դրան, ապա այդ ուղիղները զուգահեռ էն:
Խաչադիր ՝ ÐDEF, ÐEFC
Միակողմանի՝ ÐDEF, ÐAFE
Համադիր՝ OED, EFA
Այո, a II b, քանի որ Ð1 և Ð2 խաչադիր անկյուններ են:
AB II CD, որովհետև իրենց հատող AC հատվածից առաջացած խաջանիստ անկյունները հավասար էն՝ ÐBAC=ÐACD
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 260;262;264;266;268;270
Այո զուգահեռ էն քանի որ անկյուն Ð1 և Ð2 համադիր անկյուններ էն, իսկ եթե երկու ուղիղ հատվում են մի ուղղի կողմից և նրանց համադիր անկյունները հավասար են, ուրեմն այդ ուղիղները զուգահեռ են:
Այո, DE II AC
Քանի որ ÐBED և ÐECA համադիր անկյուններ էն, իսկ եթե երկու ուղիղ հատվում են մի ուղղի կողմից և նրանց համադիր անկյունները հավասար են, ուրեմն այդ ուղիղները զուգահեռ են:
a II b , քանի որ միակողմանի անկյունների գումարը հավասար է 180°=70+110, իսկ եթե երկու ուղիղ հատվում են մի ուղղի կողմից և նրանց միկողմանի անկյունների գումարը հավասար է էր, ուրեմն այդ ուղիղները զուգահեռ են:
BE II DF, քանի որ միակողմանի անկյունների գումարը հավասար է 180°=112+68
BC II MK, քանի որ խաչադիր անկյուններ ÐBCA=ÐKMC, քանի որ եռանկյուններ MKN=ABC ըստ եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշի՝ AB=KN, MK=BC, ÐABC=ÐMKN, քանի որ դրանք կից են Ð1=Ð2
DE II AC, քանի որ համադիր անկյուններ ÐACB=ÐDEB=69°, քանի որ ÐBDE=180-111=69°, որպես կից անկյուն և ÐBDE=ÐDEB=69°, քանի որ եռանկյուն BDE-ն հավասարասրուն է:
23.02.2024թ.-Հատվածի միջնուղղահայացը:Խնդիրներ:
Դասարանական առաջադրանքներ՝ 227; 229; 231; 233
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 228; 230; 232;234
PACD=AC+CD+AD
AD=BE, AE=CD
PABE=AE+AB+BE
AB=x
AC=BC=x+10
X+x+10+x+10=110
3x=90
X=30
AB=30 սմ
AC=CB=30+10=40 սմ
Պատ՝ 30սմ, 40 սմ, 40 սմ
ÐAEB=ÐEBC, քանի որ եռանկյուններ AED=CBD ըստ եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշի, քանի որ AD=DC, BD=DE և ÐADE=ÐBDC, որպես հակադիր անկյուններ:
Տվյալ եռանկյունը հավասարասրուն է, քանի որ հավասարասրուն եռանկյոան դեպքում է միջնագիծը նաև կիսորդ և բարձրություն:
Եռանկյուններ ABD=BCF=CAE ըստ եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշի, քանի որ CA=CB=AB,ÐCAB=ÐABC=ÐBCA, AD=CE=FB
Այդ եռանկյունը տարրակողմ է, քանի որ եթե այն հավասարակողմ լիներ, ապա բոլոր անկյունները հավասար կլինեին:
BM^AK, քանի որ եռանկյուն ABK հավասարասրուն է, քանի որ ÐOKB=180°-110°=70°, իսկ հավասարարուն եռանկյան մեջ կիսորդը նաև միջնագիծ է և բարձրություն:
13.02.2024թ.-Հատվածի միջնուղղահայացը:Խնդիրներ:
Դասարանական առաջադրանքներ՝ 216;218;220;222;225
ÐACB, ÐAEB, ÐADB
Ոչ, չեն կարող, քանի որ եռանկյունը չի կարող ունենալ երկու բութ անկյուն:
Չեն հատվում, քանի որ իրանք տվյալ ուղղի հետ հատվում էն նույն՝ իննսուն աստիճան անկյան տակ: Նրանք իրար հետ կհատվեին, եթե տվյալ ուղղի հետ հատվեին տարբեր, այլ ոչ թե միևնույն անկյունների տակ:
PABC=50 սմ
Քանի որ BC=CE և DA=AB
DA+AC+CE=DE=AC+AB+BC
Այդ անկյունները սուր էն, քանի որ հավասարասրուն եռանկյան մեկ անկյունը պարտադիր լինում է կամ ուղիղ կամ բութ իսկ մյուս երկու անկյունները՝ սուր, քանի որ եռանկյան անկյունների գումարը կազմում է 180°:0
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 217;219;221;224; 226
Ոչ հնարավոր չէ, որովհետև նրա բոլոր կողմերը տարբեր են:
(12-4)*2=16cm
(12-4)=ABC եռանկյան պարագծի կեսը քանի որ ABC եռանկյուն հավասարասրուն է, որովհետև հավասարասրուն եռանկյան մեջ է կիսորդը նաև բարձրություն լինում
Այդ միջնակետերը հավասար են, քանի որ AKC և AMC եռանկյունները հավասար են ըստ երկրորդ հայտանիշի, 66այսինքն AK=MC և AC-ն ընդհանուր կողմն է, իսկ ÐBAC=ÐBCA9
AOC եռանկյունը հավասարասրուն է , քանի որ անկյուն MAC=KCA քանի որ KC և AM կիսորդներ էն:
—Հատվածի միջնուղղահայացը:Խնդիրներ:
Դասարանական առաջադրանքներ՝ 189; 191; 193; 195;197;199
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 190;192;194;196;198;200
Պատ՝ AO=OB, քանի որ երկուսնել հավասար էն շառավղին:
A կետը շրջանագծից դուրս է, քանի որ ինքը ավելի հեռու է կենտրոնից քան շառավղի ծայրակետը:
Եռանկյուն AOB-ն հավասարասրուն է, քանի որ AO=BO=R
OBA=AOB=36, քանի որ AOB
//
AOB եռանկյունը հավասարասրուն է, քանի որ OA=AB=OB= R
C=2πR
π=3.14
R=7.1
2*3.14=6.28
7.1*6.28=44.59 սմ
Պատ՝ 44.59 սմ
Ոչ, մենք չենք կարող պնդել, որովհետև մենք չգիտենք ուղղի հատման անկյունը հատվածի հետ: Այն միջնաուղղահայաց կլիներ, եթե հատվեր ուղիղ անկյան տակ:
Ոչ, քանի որ մենք չգիտենք արդյոք այն անցնում է միջնակետով:
Ոչ, քանի որ մենք չգիտենք արդյոք այն անցնում է միջնակետով:
Հավասար է 8.6 քանի որ միջնաուղղահայացի վրա գտնվող կետը հավասարահեռ է այն հատվածի ծայրակետերից, որին հատվում միջնուղղահայացը
Այո քանի որ միջնուղղահայացի ցանկացած կետ հավասարահեռ է այն հատվածի ծայրակետերին որին հատվում է միջնուղղահայացը
Եռանկյուններ COD=AOB, քանի որ AB = CD, AO=OB=CO=DO=R
Շառավիղը ուղղահայաց է լարին, քանի որ OAC եռանկյունը հավասարասրուն է՝է AO=OC=R, իսկ հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված միջնագիծը նաև ուղղահայաց է:
05.12.2023թ.-Հավասարասրուն եռանկյուն
Դասարանական առաջադրանքներ՝ 160; 162; 164;166
5,6+5,6=11,2 սմ
AK=KC, քանի որ BK-ն նաև միջնագիծ է
P=10+10+7=27, քանի որ ABC եռանկյունը հավասարասրուն է և AB= BC
x+2x+2x=75 5x=75 x=15
2x=30
Պատ՝ սրունքները՝ 30 սմ, 30 սմ․ հիմքը՝ 15 սմ։
Եռանկյուն ABC հավասարասրուն է, քանի որ AB=BC, քանի որ եռանկյուններ ABK և KBC հավասար են ըստ եռանկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշի։
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 161; 163; 165
26+26=52°, քանի որ BD-ն նաև կիսորդ է
P=29 x+x+12=29
2x=17 x=85
AA1=BB1=10 սմ․ քանի որ եռանկյուններ AOA1 և BOB1 հավասար են ըստ եռանկյունների հավասարության երկրորդ հայտանիշի, քանի որ եռանկյուն AOB հավասարասրուն է, AO=OB, ÐՕBB1=ÐOAA1, ÐB1OB=ÐA1OA, որպես հակադիր անկյուններ։
01.12.2023թ.-Հավասարասրուն եռանկյուն
Դասարանական առաջադրանքներ՝ 150; 152; 154;156; 158
Այո, քանի որ AB-ն հավասար է AC-ի
10+10=20
20+17=37
Պատ՝ 37 սմ
15+15+15=45
ÐC=ÐA Քանի որ նրանք հիմքին առթեռ անկյուններ էն
Կիսորդը հավասար է բարձրության, այսինքն =11,7 սմ, քանի որ հավասարասրուն եռանկյունում կիսորդը, բարձրությունը և միջնագիծը համընկնում են։ Եթե հիմքը լինի AB, ապա հնարավոր չէ։
Լրացուցիչ առաջադրանքներ՝ 151;153;155;157;159
Ա․
2x+x+4=37
3x=33
X=11
11+4=15
Պատ՝ 11 սմ, 11 սմ և 15 սմ
60:3=20
Պատ՝ 20 սմ
180-63=117°, քանի որ ÐA=ÐB=63° , իսկ ÐA և արտաքին անկյունը միասին կազմում են 180°
Հավասարասրուն եռանկյան միջնագծի և կիսորդի հարաբերությունը հավասար է 1։1=1 քանի որ հավասարասրուն եռանկյան մեջ միջնագիծը և կիսորդը համնկնում էն։ Եթե հավասարասրուն եռանկյունը նաև հավասարակողմ է, ապա դրանց հարաբերությունը նույնպես մեկ է, իսկ եթե հիմքը ունի այլ երկարություն, ապա դրանց հարաբերությունը կլինի կամ 1-ից մեծ կամ 1-ից փոքր, սակայն հստակ հարաբերությունը հնարավոր չէ գտնել։
Ալեքսանդր Ավոյան 